Atšķirība starp aritmētisko secību un ģeometrisko secību

Aritmētiskā secība vs ģeometriskā secība
 

Skaitļu modeļu un viņu uzvedības izpēte ir svarīgs pētījums matemātikas jomā. Bieži vien šos modeļus var redzēt dabā, un tie palīdz mums izskaidrot viņu izturēšanos zinātniskā aspektā. Aritmētiskās sekvences un ģeometriskās sekvences ir divi no pamata modeļiem, kas rodas skaitļos un bieži sastopami dabas parādībās.

Secība ir pasūtītu numuru kopums. Elementu skaits secībā var būt ierobežots vai bezgalīgs.

Vairāk par aritmētisko secību (aritmētiskā progresija)

Aritmētisko secību definē kā skaitļu secību ar nemainīgu starpību starp katru nākamo terminu. To sauc arī par aritmētisko progresiju.

Aritmētiskā secība ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄,…, A_n ; kur₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d utt.

Ja sākotnējais termiņš ir a₁ un kopējā atšķirība ir d, tad n^th kārtas secību izsaka;

a_n = a₁ + (n-1) d

Paņemot iepriekš minēto rezultātu tālāk, n^th terminu var dot arī kā;

a_n = a_m + (n-m) d, kur_m ir nejaušs termins tādā secībā, ka n> m.

Pāra skaitļu kopa un nepāra skaitļu kopa ir vienkāršākie aritmētisko secību piemēri, kur katrai sekvencei ir kopīga atšķirība (d) 2.

Terminu skaits secībā var būt bezgalīgs vai ierobežots. Bezgalīgajā gadījumā (n → ∞) secībai ir tendence uz bezgalību atkarībā no kopējās atšķirības (a_n → ± ∞). Ja kopējā atšķirība ir pozitīva (d> 0), secībai ir tendence uz pozitīvu bezgalību un, ja kopējā atšķirība ir negatīva (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Termini summa aritmētiskajā secībā ir zināma kā aritmētiskā virkne: S_n= a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} a_i; un S_n = (n / 2) (a₁ + a_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] norāda sērijas vērtību (S_n).

Vairāk par ģeometrisko secību (ģeometriskā progresija)

Ģeometrisko secību definē kā secību, kurā jebkuru divu secīgu nosacījumu koeficients ir konstante. To sauc arī par ģeometrisko progresiju.

Ģeometriskā secība ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄,…, A_n; kur₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r utt., kur r ir reāls skaitlis.

Ģeometrisko secību ir vieglāk attēlot, izmantojot kopējo attiecību (r) un sākotnējo terminu (a). Tādējādi ģeometriskā secība ⇒ a₁, a₁r, a₁r², a₁r³,…, A₁r^n-1.

Vispārējā n forma^th termini, ko piešķīris a_n = a₁r^n-1. (Sākotnējā termina cript a zaudēšana_n = ar^n-1)

Ģeometriskā secība var būt arī ierobežota vai bezgalīga. Ja terminu skaits ir ierobežots, secība tiek uzskatīta par ierobežotu. Un, ja termini ir bezgalīgi, secība var būt bezgalīga vai ierobežota atkarībā no attiecības r. Kopējā attiecība ietekmē daudzas ģeometrisko secību īpašības. 

r> o	0 < r < +1	Secība saplūst - eksponenciālā sabrukšana, t.i.n → 0, n → ∞
	r = 1	Pastāvīga secība, t.i.n = nemainīgs
	r> 1	Secība atšķiras - eksponenciāls pieaugums, t.i.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Secība svārstās, bet saplūst
	r = 1	Secība ir mainīga un nemainīga, t.i., an = ± konstante
	r < -1	Secība ir mainīga un atšķiras. t.i.n → ± ∞, n → ∞
r = 0	Secība ir nulles virkne

N.B .: Visos iepriekšminētajos gadījumos a₁ > 0; ja₁ < 0, the signs related to a_n tiks apgriezts.

Laika intervāls starp bumbiņas atlecieniem ideālā modelī seko ģeometriskai secībai, un tā ir saplūstoša secība.

Ģeometriskās secības nosacījumu summa ir zināma kā ģeometriska virkne; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} arⁱ. Ģeometrisko virkņu summu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); kur a ir sākotnējais termins un r ir attiecība.

Ja attiecība r ≤ 1, sērija saplūst. Bezgalīgai sērijai konverģences vērtību norāda S_n = a / (1-r) 

Kāda ir atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko secību / progresēšanu?

• Aritmētiskā secībā jebkuriem diviem secīgiem terminiem ir kopēja atšķirība (d), savukārt ģeometriskā secībā jebkuriem diviem secīgiem terminiem ir nemainīgs koeficients (r)..

• Aritmētiskā secībā terminu variācijas ir lineāras, t.i., caur visiem punktiem var novilkt taisnu līniju. Ģeometriskā virknē variācija ir eksponenciāla; vai nu aug, vai arī samazinās, pamatojoties uz kopējo attiecību.

• Visas bezgalīgās aritmētiskās secības ir atšķirīgas, turpretī bezgalīgās ģeometriskās virknes var būt atšķirīgas vai saplūst.

• Ģeometriskā virkne var parādīt svārstības, ja attiecība r ir negatīva, kamēr aritmētiskā virkne neparāda svārstības