Starpība starp lineāro un nelineāro diferenciālvienādojumu

Lineāri vs nelineāri diferenciālvienādojumi
 

Vienādojums, kas satur vismaz vienu diferenciācijas koeficientu vai nezināma mainīgā atvasinājumu, ir pazīstams kā diferenciālvienādojums. Diferenciālvienādojums var būt gan lineārs, gan nelineārs. Šī raksta mērķis ir izskaidrot, kas ir lineārais diferenciālvienādojums, kas ir nelineārs diferenciālvienādojums un kāda ir atšķirība starp lineāro un nelineāro diferenciālvienādojumu.

Kopš matemātiķu, piemēram, Ņūtona un Leibnica, aprēķināšanas 18. gadsimtā diferenciālvienādojumam ir bijusi liela nozīme matemātikas stāstā. Diferenciālie vienādojumi ir ļoti svarīgi matemātikā to pielietojuma diapazona dēļ. Diferenciālie vienādojumi ir katra modeļa pamatā, kuru mēs izstrādājam, lai izskaidrotu jebkuru scenāriju vai notikumu pasaulē neatkarīgi no tā, vai tas ir fizikā, inženierzinātnēs, ķīmijā, statistikā, finanšu analīzē vai bioloģijā (saraksts ir bezgalīgs). Faktiski, līdz aprēķins kļuva par iedibinātu teoriju, pienācīgi matemātiskie rīki nebija pieejami, lai analizētu interesantas dabas problēmas.

Rezultātā iegūtie vienādojumi, kas izriet no noteikta aprēķina pielietojuma, var būt ļoti sarežģīti un dažreiz arī neatrisināmi. Tomēr ir tādi, kurus mēs varam atrisināt, taču tie var izskatīties līdzīgi un mulsinoši. Tāpēc vieglākai identifikācijai diferenciālvienādojumus klasificē pēc to matemātiskās uzvedības. Lineārā un nelineārā ir viena no šādām kategorijām. Ir svarīgi noteikt atšķirību starp lineāro un nelineāro diferenciālvienādojumu.

Kas ir lineārais diferenciālvienādojums?

Pieņemsim, ka f: X → Y un f (x) = y, a diferenciālvienādojums bez nezināmas funkcijas nelineāriem noteikumiem y un tā atvasinājumi ir zināmi kā lineārais diferenciālvienādojums.

Tas uzliek nosacījumu, ka y nedrīkst būt augstāki indeksa termini, piemēram, y², y³,… Un atvasinājumu daudzkārtņi, piemēram 

Tas nedrīkst saturēt arī nelineārus terminus, piemēram, Sin y, e^{y^ -2}, vai ln y. Tam ir forma, 

kur y un g ir x. Vienādojums ir kārtas diferenciālvienādojums n, kas ir augstākās kārtas atvasinājuma indekss.

Lineārā diferenciālvienādojumā diferenciālis ir lineārs operators, un risinājumi veido vektoru telpu. Risinājumu kopas lineārā rakstura rezultātā lineārā risinājumu kombinācija ir arī diferenciālvienādojuma risinājums. Tas ir, ja y₁ un y₂ ir diferenciālvienādojuma risinājumi, tad C₁ y₁+ C₂ y₂ ir arī risinājums.

Vienādojuma linearitāte ir tikai viens klasifikācijas parametrs, un to tālāk var iedalīt viendabīgos vai nehomogenos un parastajos vai daļējos diferenciālvienādojumos. Ja funkcija ir g= 0, tad vienādojums ir lineārs homogēns diferenciālvienādojums. Ja f ir divu vai vairāku neatkarīgu mainīgo funkcija (f: X, T → Y) un f (x, t) = y , tad vienādojums ir lineārs daļējs diferenciālvienādojums.

Diferenciālvienādojuma risināšanas metode ir atkarīga no diferenciālvienādojuma veida un koeficientiem. Vieglākais gadījums rodas, ja koeficienti ir nemainīgi. Klasisks piemērs šai lietai ir Ņūtona otrais kustības likums un tā dažādie pielietojumi. Ņūtona otrais likums rada otrās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem.

Kas ir nelineārs diferenciālvienādojums?

Vienādojumi, kas satur nelineārus terminus, ir zināmi kā nelineāri diferenciālvienādojumi.

 

Visi iepriekš minētie ir nelineāri diferenciālvienādojumi. Nelineāros diferenciālvienādojumus ir grūti atrisināt, tāpēc, lai iegūtu pareizu risinājumu, ir nepieciešama rūpīga izpēte. Daļēju diferenciālvienādojumu gadījumā lielākajai daļai vienādojumu nav vispārīga risinājuma. Tāpēc katrs vienādojums jāizturas neatkarīgi.

Navjē-Stoksa vienādojums un Eulera vienādojums šķidruma dinamikā, Einšteina vispārējie relativitātes lauka vienādojumi ir labi zināmi nelineāri daļējie diferenciālvienādojumi. Dažreiz Lagranža vienādojuma piemērošana mainīgai sistēmai var radīt nelineāru daļēju diferenciālvienādojumu sistēmu.

Kāda ir atšķirība starp lineāro un nelineāro diferenciālvienādojumu?

• Diferenciālvienādojums, kuram ir tikai nezināma vai atkarīga mainīgā un tā atvasinājumu lineārie vārdi, ir pazīstams kā lineārais diferenciālvienādojums. Tam nav termina ar indeksa atkarīgo mainīgo, kas lielāks par 1, un tas nesatur nevienu tā atvasinājumu. Tam nevar būt nelineāras funkcijas, piemēram, trigonometriskās, eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas attiecībā uz atkarīgo mainīgo. Jebkurš diferenciālvienādojums, kas satur iepriekš minētos terminus, ir nelineārs diferenciālvienādojums.

• Lineāru diferenciālvienādojumu risinājumi rada vektoru telpu, un diferenciālais operators ir arī lineārs operators vektoru telpā.

• Lineāro diferenciālvienādojumu risinājumi ir salīdzinoši vieglāk, un pastāv vispārīgi risinājumi. Nelineārajiem vienādojumiem vairumā gadījumu vispārīgais risinājums neeksistē, un risinājums var būt atkarīgs no problēmas. Tas padara risinājumu daudz grūtāku nekā lineārie vienādojumi.