Atšķirība starp ortogonālu un ortonormālu

Taisnstūra vs Ortonormal

Matemātikā divus vārdus ortogonāls un ortonormāls bieži lieto kopā ar vektoru kopu. Šeit termins “vektors” tiek lietots tādā nozīmē, ka tas ir vektora telpas elements - algebriska struktūra, ko izmanto lineārā algebrā. Diskusijai mēs apsvērsim produkta iekšējo telpu - vektoru telpu V kopā ar iekšējo izstrādājumu [] definēts V.

Piemēram, iekšējam produktam atstarpe ir visu trīsdimensiju pozīciju vektoru kopa kopā ar parasto punktu reizinājumu.

Kas ir taisnleņķis?

Neviena apakšgrupa S iekšējā produkta telpā V tiek teikts, ka tas ir taisnleņķis, ja un tikai tad, ja katram atšķirīgs u, v iekšā S, [u, v] = 0; t.i., iekšējais produkts u un v ir vienāds ar nulles skalāru iekšējā produkta telpā.

Piemēram, visu trīsdimensiju pozīciju vektoru komplektā tas ir līdzvērtīgi apgalvojumam, ka katram atsevišķam pozīciju vektoru pārim lpp un q iekš S, lpp un q ir perpendikulāri viens otram. (Atcerieties, ka iekšējais produkts šajā vektoru telpā ir punktveida reizinājums. Arī divu vektoru punktu reizinājums ir vienāds ar 0, ja un tikai tad, ja abi vektori ir perpendikulāri viens otram.)

Apsveriet komplektu S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), kas ir trīsdimensiju pozīciju vektoru apakškopa. Ievērojiet, ka (0,2,0) (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 un (0,2,0).(0,0,5) = 0. Tātad komplekts S ir ortogonāla. Jo īpaši tiek apgalvots, ka divi vektori ir ortogonāli, ja to iekšējais reizinājums ir 0. Tāpēc katrs vektoru pāris atrodas Sir ortogonāla.

Kas ir ortonormāls?

Neviena apakšgrupa S iekšējā produkta telpā V tiek teikts, ka tā ir ortonormāla tikai un tikai tad S ir ortogonāla un katram vektoram u iekšā S, [u, u] = 1. Tāpēc var redzēt, ka katrs ortonormāls komplekts ir taisnleņķis, bet ne otrādi.

Piemēram, visu trīsdimensiju pozīciju vektoru komplektā tas ir līdzvērtīgi apgalvojumam, ka katram atsevišķam pozīciju vektoru pārim lpp un q iekšā S, lpp un q ir perpendikulāri viens otram un katram lpp iekšā S, | p | = 1. Tas ir tāpēc, ka nosacījums [p, p] = 1 samazina līdz p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, kas ir līdzvērtīgs | p | = 1. Tāpēc, ņemot vērā ortogonālu kopu, mēs vienmēr varam izveidot atbilstošu ortonormālo kopu, katru vektoru dalot ar tā lielumu.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) ir visu trīsdimensiju pozīciju vektoru kopas ortonormāls apakškopums. Ir viegli redzēt, ka tas tika iegūts, sadalot katru no vektoriem komplektā S, pēc to lieluma.

Kāda ir atšķirība starp ortogonālo un ortonormālo?

• Neviena apakšgrupa S iekšējā produkta telpā V tiek uzskatīts par ortogonālu, ja un tikai tad, ja par katru atšķirīgu u, v iekšā S, [u, v] = 0. Tomēr tas ir ortonormāls, ja un tikai tad, ja ir papildu nosacījums - katram vektoram u iekšā S, [u, u] = 1 ir apmierināts.
• Jebkurš ortonormāls komplekts ir taisnleņķis, bet ne otrādi.
• Jebkura ortogonāla kopa atbilst unikālai ortonormālā kopa, bet ortonormāla kopa var atbilst daudzām ortogonālai kopa.