Atšķirība starp Power sērijām un Teiloru sērijām

Spēļu sērija vs Teilora sērija

Matemātikā reāla secība ir sakārtots reālo skaitļu saraksts. Formāli tā ir funkcija no dabisko skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai. Ja a_nir n^th secības termins, mēs apzīmējam secību ar vai a₁, a₂,…, A_n,… .Piemēram, ņemiet vērā secību 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,… To var apzīmēt kā 1 / n.

Sēriju var definēt, izmantojot secības. Sērija ir secības nosacījumu summa. Tāpēc katrai secībai ir saistīta secība un otrādi. Ja_n ir aplūkojamā secība, tad virkni, ko veido šī secība, var attēlot šādi:                                           

 Tādējādi iepriekšminētajā piemērā saistītā sērija ir 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_n +… . 

Kā norāda nosaukumi, enerģijas sērijas ir īpašs sēriju veids, un to plaši izmanto skaitliskajā analīzē un ar to saistītajā matemātiskajā modelēšanā. Taylor sērija ir īpaša jaudas sērija, kas nodrošina alternatīvu un viegli manipulējamu veidu, kā attēlot labi zināmas funkcijas.

Kas ir Power sērija?

Jaudas sērija ir formas sērija

    

kas ir saplūst (iespējams) kādam intervālam, kura centrā ir c. Koeficienti a_n var būt reāli vai sarežģīti skaitļi, un ir neatkarīgs no x; t.i.. manekena mainīgais.

Piemēram, iestatot a_n= 1 katram n, un c = 0, jaudas sērija 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Tiek iegūts. Ir viegli novērot, ka tad, kad x ε (-1,1), šī jaudas virkne saplūst ar 1 / (1-x).          

Jaudas sērija saplūst, kad x = c. Citas vērtības x kurai jaudas sērijas saplūst, vienmēr būs kā atvērts intervāls, kura centrā ir c. Tas ir, būs vērtība 0≤ R ≤ ∞ tāds, ka katram x apmierinošs | x-c | ≤R, jaudas sērija ir saplūdusi un katrai x  apmierinošs | x-c |>R, jaudas sērija ir atšķirīga. Šī vērtība R sauc par jaudas virknes konverģences rādiusu (R var izmantot jebkuru reālu vērtību vai pozitīvu bezgalību).

Jaudas sērijas var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt, izmantojot šādus noteikumus. Apsveriet divas enerģijas sērijas:       

   

                               .

Tad,                 

t.i.. līdzīgi termini tiek saskaitīti vai atņemti. Izmantojot identitāti, ir iespējams arī reizināt un sadalīt abas enerģijas sērijas,

Kas ir Taylor sērija?

Funkcijai ir definēta Teilora sērija f(x), kas ar intervālu ir bezgalīgi atšķirīgs. Pieņemsim f(x) var atšķirt ar intervālu, kura centrā ir c. Tad jaudas sērija, kuru piešķir

                                                                                                                                

sauc par Teilora sērijas funkcijas paplašināšanu f(x) par c. (Šeit f⁽ⁿ⁾(c) Apzīmē n^th atvasinājums plkst x = c). Skaitliskajā analīzē, aprēķinot vērtības punktos, kur virkne ir saplūdusi ar sākotnējo funkciju, tiek izmantots ierobežots skaits terminu šajā bezgalīgajā paplašinājumā..

Funkcija f(x) tiek uzskatīts par analītisku intervālā (a, b), ja katram x ε (a, b), Teilora virkne f(x) konverģē uz funkciju f(x). Piemēram, 1 / (1-x) ir analītiski uz (-1,1), jo tā Teilora izplešanās 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Konverģē uz funkciju šajā intervālā, un e^x  ir analītisks visur, kopš Taylor sērijas e^xtuvojas e^x par katru reālo skaitli x.

Kāda ir atšķirība starp Power sērijām un Taylor sērijām?

1. Taylor sērija ir īpaša jaudas sēriju klase, kas definēta tikai funkcijām, kuras ar noteiktu atvērtu intervālu var bezgalīgi atšķirt.

2. Teilora sērijas iegūst īpašo formu

        

tā kā jaudas sērija var būt jebkura formas sērija