Noteiktu un nenoteiktu integrāļu atšķirība

Aprēķins ir svarīga matemātikas nozare, un diferenciācijai ir kritiska loma aprēķinā. Diferenciācijas apgrieztais process tiek dēvēts par integrāciju, un apgrieztais ir pazīstams kā integrālis, jeb, vienkāršāk sakot, diferenciācijas apgrieztais sastāvs dod integrālu. Balstoties uz iegūtajiem rezultātiem, integrāļi tiek sadalīti divās klasēs, ti, definētie un nenoteiktie integrāļi.

Noteikti integrāls

Noteiktais integrālis f (x) ir NUMURS un apzīmē laukumu zem līknes f (x) no plkst x = a uz x = b.

Noteiktam integrālam ir integrāļu augšējās un apakšējās robežas, un to sauc par noteiktu, jo problēmas beigās mums ir skaitlis - tā ir noteikta atbilde.

Neierobežots integrālis

F (x) nenoteiktais integrālis ir FUNKCIJA un atbild uz jautājumu “Kāda funkcija, ja diferencēta f (x)?”

Ar nenoteiktu integrālu šeit integrālam nav augšējo un apakšējo robežu, un tas, ko mēs iegūsim, ir atbilde, kurai joprojām ir xir tajā, un tam būs arī konstante (parasti to apzīmē ar C) tajā.

Nenoteiktais integrālis parasti dod vispārīgu diferenciālvienādojuma risinājumu.

Nenoteiktais integrālis ir vairāk vispārīgs integrācijas veids, un to var interpretēt kā aplūkotās funkcijas anti-atvasinājumu.

Pieņemsim, ka funkciju diferenciācija F noved pie citas funkcijas f, un f integrācija dod integrālu. Simboliski, tas ir rakstīts kā

F (x) = ∫ƒ (x) dx

vai

F = ∫ƒ dx

kur abi F un ƒ ir x, un F ir diferencējams. Iepriekš minētajā formā to sauc par Reimaņa integrālu, un iegūtā funkcija pavada patvaļīgu konstanti.

Nenoteikts integrālis bieži rada funkciju saimi; tāpēc integrālis ir nenoteikts.

Diferenciālvienādojumu risināšanas pamatā ir integrāļi un integrācijas process. Tomēr atšķirībā no diferencēšanas soļiem integrācijas posmi ne vienmēr notiek skaidrā un standarta rutīnā. Reizēm mēs redzam, ka risinājumu nevar skaidri izteikt ar elementāru funkciju. Tādā gadījumā analītisko risinājumu bieži dod nenoteikta integrala formā.

Aprēķina pamat teorēma

Noteikto un nenoteikto integrālu ar Kalkuļa pamatteoremu saista šādi: Lai aprēķinātu noteikts integrālis, Atrodi nenoteikts integrālis (pazīstams arī kā anti-atvasinājums) no funkcijas un novērtēt to beigu punktos x = a un x = b.

Atšķirība starp noteiktiem un nenoteiktiem integrāļiem būs acīmredzama, tiklīdz mēs novērtēsim integrāļus vienai un tai pašai funkcijai.

Apsveriet šo integrālo:

LABI. Darīsim abus un redzēsim atšķirību.

Lai integrētu, indeksam jāpievieno viens, kas mūs ved pie šādas izteiksmes:

Šajā brīdī C mums ir tikai konstanti. Lai noteiktu precīzu. Vērtību, problēmai nepieciešama papildu informācija C.

Novērtēsim to pašu integrālu noteiktajā formā, t.i., iekļaujot augšējo un apakšējo robežu.

Grafiski runājot, mēs tagad aprēķinām laukumu zem līknes f (x) = y³ starp y = 2 un y = 3.

Šīs vērtēšanas pirmais solis ir tāds pats kā nenoteikts integrālais novērtējums. Vienīgā atšķirība ir tā, ka šoreiz mēs nepievienojam konstantu C.

Izteiciens šajā gadījumā izskatās šādi:

Tas savukārt noved pie:

Būtībā mēs izteiksmē aizstājām 3 un pēc tam 2 un ieguvām starpību starp tām.

Šī ir noteikta vērtība pretstatā konstantes izmantošanai C agrāk.

Izpētīsim pastāvīgo koeficientu (attiecībā uz nenoteikto integrālu) sīkāk.

Ja starpība ir y³ ir 3 gadi², tad

∫3 gadi²dy = y³

Tomēr, 3 gadi² varētu būt atšķirība starp daudziem izteicieniem, no kuriem daži ietver y³-5, y³+7, utt. .. Tas nozīmē, ka apgriezieni nav unikāli, jo operācijas laikā konstante netiek ņemta vērā.

Tātad kopumā, 3 gadi² ir starpība y³+C kur C ir jebkura konstante. Starp citu, C ir pazīstams kā 'integrācijas konstante'.

Mēs to rakstām šādi:

∫ 3 gadi².dx = y³ + C

Neierobežota integrāla integrācijas paņēmieni, piemēram, tabulas meklēšana vai Risch integrācija, integrācijas procesā var pievienot jaunus pārtraukumus. Šie jaunie pārtraukumi parādās tāpēc, ka anti-atvasinājumi var prasīt sarežģītu logaritmu ieviešanu.

Kompleksiem logaritmiem ir lēciena pārtraukums, kad arguments šķērso negatīvo reālo asi, un integrācijas algoritmi dažreiz nevar atrast attēlojumu, kurā šie lēcieni atceļ.

Ja noteiktu integrālu novērtē, vispirms aprēķinot nenoteiktu integrālu un pēc tam aizstājot integrācijas robežas ar rezultātu, mums jāapzinās, ka nenoteikta integrācija var radīt pārtraukumus. Ja tā notiek, mums papildus ir jāizpēta pārtraukumi integrācijas intervālā.