Starpība starp FFT un DFT

Ātās Furjē pārveidošanas (FFT) versijas Diskrētā Furjē transformācija (DFT)

Tehnoloģija un zinātne iet roku rokā. Un tam nav labāka piemēra kā digitālā signāla apstrāde (DSP). Digitālā signāla apstrāde ir process, kurā tiek optimizēta ciparu komunikāciju precizitāte un efektivitāte. Viss ir dati - neatkarīgi no tā, vai tie ir attēli no kosmosa zondes vai seismiskās vibrācijas un kaut kas pa vidu. Lai pārveidotu šos datus cilvēkiem saprotamā formātā, izmantojot datorus, ir digitālā signāla apstrāde. Tā ir viena no visspēcīgākajām tehnoloģijām, kas apvieno gan matemātisko teoriju, gan fizisko ieviešanu. DSP studijas sākās kā absolventa līmeņa elektrotehnikas kurss, bet laika gaitā tas ir kļuvis par potenciālu spēles mainītāju zinātnes un inženierzinātņu jomā. Pietiek teikt, ka bez DSP inženieri un zinātnieki varētu pārstāt eksistēt.

Furjē transformācija ir signāla kartēšanas līdzeklis laika vai telpas jomā tā spektrā frekvences apgabalā. Laika un frekvences domēni ir tikai alternatīvi signālu attēlošanas veidi, un Furjē transformācija ir matemātiskas attiecības starp abiem attēlojumiem. Signāla maiņa vienā domēnā ietekmētu arī signālu otrā domēnā, bet ne vienmēr tādā pašā veidā. Diskrētā Furjē transformācija (DFT) ir tāda pati kā Furjē transformācija, ko izmanto ar digitalizētiem signāliem. Kā norāda nosaukums, tā ir diskrēta FT versija, kas gan laika, gan frekvences domēnu uzskata par periodisku. Ātrā Furjē transformācija (FFT) ir tikai algoritms ātrai un efektīvai DFT aprēķināšanai.

Diskrētā Furjē transformācija (DFT)

Diskrētā Furjē transformācija (DFT) ir viens no vissvarīgākajiem digitālā signāla apstrādes rīkiem, kas aprēķina ierobežota ilguma signāla spektru. Ļoti bieži tiek kodēta informācija sinusoīdos, kas veido signālu. Tomēr dažās lietojumprogrammās laika domēna viļņu forma nav piemērota signāliem, un tādā gadījumā signāla frekvences saturs kļūst ļoti noderīgs citos veidos, nevis kā digitālie signāli. Svarīgs ir digitālā signāla attēlojums, ņemot vērā tā frekvences komponentu frekvences jomā. Algoritmu, kas laika domēna signālus pārveido par frekvences domēna komponentiem, sauc par diskrēto Furjē transformāciju jeb DFT.

Ātrā Furjē transformācija (FFT)

Ātrā Furjē transformācija (FFT) ir DFT ieviešana, kas dod gandrīz tādus pašus rezultātus kā DFT, taču tā ir neticami efektīvāka un daudz ātrāka, kas bieži ievērojami samazina aprēķina laiku. Tas ir tikai skaitļošanas algoritms, ko izmanto ātrai un efektīvai DFT aprēķināšanai. Dažādas ātras DFT aprēķināšanas metodes, ko kopīgi sauc par ātro Furjē transformāciju jeb FFT. Gauss bija pirmais, kurš 1805. gadā ierosināja koeficientu aprēķināšanas metodi asteroīda orbītas trigonometrijā. Tomēr tikai 1965. gadā Kūlija un Tukeja raksts pievērsa zinātnes un inženierijas sabiedrības uzmanību, kas arī ciparu signālu apstrādes disciplīnas pamats.

Atšķirība starp FFT un DFT

1. FFT un DFT nozīme

Diskrētā Furjē transformācija jeb vienkārši saukta par DFT ir algoritms, kas laika apgabala signālus pārveido par frekvences domēna komponentiem. DFT, kā norāda nosaukums, ir patiesi diskrēta; diskrētā laika domēna datu kopas tiek pārveidotas diskrētā frekvences attēlojumā. Vienkārši izsakoties, tas izveido sakarību starp laika domēna attēlojumu un frekvences domēna attēlojumu. Ātrā Furjē transformācija jeb FFT ir skaitļošanas algoritms, kas samazina skaitļošanas laiku un lielu transformāciju sarežģītību. FFT ir tikai algoritms, ko izmanto ātrai DFT aprēķināšanai.

2. FFT un DFT algoritms

Visbiežāk izmantotais FFT algoritms ir Cooley-Tukey algoritms, kurš tika nosaukts pēc J. W. Cooley un John Tukey. Tas ir dalīšanas un iekarošanas algoritms sarežģītu Furjē sēriju mašīnu aprēķināšanai. Tas sadala DFT mazākos DFT. Citos FFT algoritmos ietilpst Radera algoritms, Winograd Furjē pārveidošanas algoritms, Chirp Z pārveidošanas algoritms utt. DFT algoritmus var ieprogrammēt vai nu vispārējas nozīmes digitālos datoros, vai arī tos tieši ieviest ar speciālu aparatūru. FFT algoritmu izmanto, lai aprēķinātu sekvences vai tās apgrieztā daudzuma DFT. DFT var veikt kā O (N²) laika sarežģītībā, turpretī FFT samazina laika sarežģītību secībā O (NlogN).

3. FFT un DFT pielietojumi

DFT var izmantot daudzās digitālās apstrādes sistēmās dažādās lietojumprogrammās, piemēram, signāla frekvences spektra aprēķināšanā, daļēju diferenciālo lietojumprogrammu risināšanā, mērķu noteikšanā no radara atbalss, korelācijas analīzē, polinomu reizināšanas aprēķinā, spektrālajā analīzē un citur. FFT ir plaši izmantots akustiskiem mērījumiem baznīcās un koncertzālēs. Citi FFT pielietojumi ietver spektrālo analīzi analogo video mērījumos, lielu skaitļu un polinomu reizināšanu, filtrēšanas algoritmus, izotopisko sadalījumu aprēķināšanu, Furjē sērijas koeficientu aprēķināšanu, konvolūciju aprēķināšanu, zemas frekvences trokšņu ģenerēšanu, kinoformu projektēšanu, blīvu strukturētu matricu izpildi, attēlu apstrādi un vairāk.

FFT pret DFT: salīdzināšanas diagramma

Kopsavilkums par FFT Vs. DFT

Īsumā, diskrēta Furjē transformācija spēlē galveno lomu fizikā, jo to var izmantot kā matemātisku rīku, lai aprakstītu sakarību starp diskrēto signālu laika domēnu un frekvences domēna attēlojumu. Tas ir vienkāršs, taču diezgan laikietilpīgs algoritms. Tomēr, lai samazinātu skaitļošanas laiku un lielu transformāciju sarežģītību, var izmantot sarežģītāku, bet mazāk laikietilpīgu algoritmu, piemēram, ātro Furjē pārveidi. FFT ir DFT ieviešana, ko izmanto DFT ātrai aprēķināšanai. Īsāk sakot, FFT var darīt visu, ko dara DFT, taču efektīvāk un daudz ātrāk nekā DFT. Tas ir efektīvs DFT aprēķināšanas veids.