Racionālu un iracionālu skaitļu atšķirība

Termins “cipari” ienes mūsu prātā, kas parasti tiek klasificēti kā pozitīvi veseli skaitļi, kas lielāki par nulli. Citās numuru klasēs ietilpst veseli skaitļi un frakcijas, sarežģīts un reālie skaitļi un arī negatīvas veselas vērtības.

Pagarinot numuru klasifikāciju, mēs sastopamies racionāls un iracionāli skaitļi. Racionālais skaitlis ir skaitlis, ko var uzrakstīt kā frakciju. Citiem vārdiem sakot, racionālo skaitli var uzrakstīt kā attiecību starp diviem skaitļiem.

Apsveriet, piemēram, numuru 6. To var uzrakstīt kā divu skaitļu attiecību. 6 un 1, kas noved pie koeficienta 6/1. Līdzīgi, 2/3, kas ir uzrakstīts kā frakcija, ir racionāls skaitlis.

Tādējādi mēs varam definēt racionālu skaitli kā skaitli, kas uzrakstīts kā frakcija, kur gan skaitītājs (cipars augšā), gan saucējs (cipars apakšā) ir veseli skaitļi. Tāpēc katrs vesels skaitlis pēc definīcijas ir arī racionāls skaitlis.

Divu lielu skaitļu attiecība, piemēram (129 367 871)/(547 724 863) būtu arī racionāla skaitļa piemērs tā vienkāršā iemesla dēļ, ka gan skaitītājs, gan saucējs ir veseli skaitļi.

Un pretēji, jebkuru skaitli, ko nevar izteikt kā daļu vai attiecību, sauc par iracionālu. Biežāk minētais iracionālā skaitļa piemērs ir √2 (1.414213…). Vēl viens populārs neracionāla skaitļa piemērs ir skaitliskā konstante π (3.141592… ).

Neracionālu skaitli var uzrakstīt kā decimāldaļu, bet ne kā frakciju. Neracionāli skaitļi ikdienā netiek bieži izmantoti, kaut arī uz numuru līnijas tie pastāv. Starp ir bezgalīgs skaits iracionālu skaitļu 0 un 1 uz ciparu līnijas. Neracionālam skaitlim ir bezgalīgi neatkārtojumi cipari pa labi no komata.

Ņemiet vērā, ka bieži citētā vērtība ir 22/7 konstantei π patiesībā ir tikai viena no vērtībām π. Pēc definīcijas apļa apkārtmērs, dalīts ar divkāršu tā rādiusu, ir π vērtība. Tas noved pie vairākām vērtībām π, ieskaitot, bet ne tikai, 333/106, 355/113 un tā tālāk1.

Tikai kvadrātveida skaitļu kvadrātsaknes; t.i., kvadrātveida saknes perfekti kvadrāti ir racionāli.

√1= 1 (Racionāla)

√2 (Iracionāli)

√3 (Iracionāli)

√4 = 2 (Racionāla)

√5, √6, √7, √8 (Iracionāli)

√9 = 3 (Racionāli) un tā tālāk.

Turklāt mēs atzīmējam, ka tikai nth saknes nth pilnvaras ir racionālas. Tādējādi 6 sakne 64 ir racionāla, jo 64 ir 6 jauda, ​​proti 6 spēks 2. Bet 6 sakne 63 ir iracionāla. 63 nav ideāls 6th spēks.

Neizbēgami ir iracionālu skaitļu decimālais attēlojums un tas rada dažus interesantus rezultātus.

Kad mēs izsakām a racionāls cipars kā komats, tad vai nu komats būs precīzi (kā 1/5= 0,20) vai arī tā būs neprecīzi (kā, 1/3 ≈ 0,3333). Abos gadījumos būs paredzams ciparu modelis. Ņemiet vērā, ka, kad iracionāli skaitlis tiek izteikts ar decimālzīmi, tad tas nepārprotami būs neprecīzs, jo pretējā gadījumā skaitlis būtu racionāls.

Turklāt nebūs paredzamu ciparu paraugu. Piemēram,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Tagad, izmantojot racionālus skaitļus, mēs laiku pa laikam sastopamies 1/11 = 0,0909090.

Abu vienādības zīmes (=) un trīs punkti (elipsis) nozīmē, ka, kaut arī to nav iespējams izteikt 1/11 precīzi kā decimālo skaitli, mēs joprojām to varam tuvināt ar tik daudz cipariem aiz komata, cik atļauts pietuvoties 1/11.

Tādējādi decimālā forma 1/11 tiek uzskatīts par neprecīzu. Tādā pašā veidā decimālā forma ir  ¼ kas ir 0,25, ir precīzs.

Atnākot uz iracionālu skaitļu aiz komata, tie vienmēr būs neprecīzi. Turpinot ar √2, kad mēs rakstām √2 = 1,41421356237… (Ņemiet vērā elipses izmantošanu), tas uzreiz nozīmē, ka aiz komata nav aiz komata √2 būs precīzi. Turklāt nebūs paredzamu ciparu paraugu. Izmantojot skaitlisko metožu jēdzienus, mēs atkal varam racionāli tuvināt tik daudz cipariem aiz komata līdz punktam, ka esam tuvu √2.

Neviena piezīme par racionāliem un neracionāliem skaitļiem nevar beigties bez obligāta pierādījuma, kāpēc √2 ir neracionāla. To darot, mēs arī noskaidrojam, klasisko piemēru pierādījums ar turpinājumuradiācija.

Pieņemsim, ka √2 ir racionāls. Tas liek mums to pārstāvēt kā divu veselu skaitļu attiecību lpp un q.

√2 = p / q

lieki teikt, lpp un q mums nav kopīgu faktoru, jo, ja būtu kādi kopīgi faktori, mēs tos būtu izslēgtu no skaitītāja un saucēja.

Sakārtojot abas vienādojuma puses, mēs nonākam pie,

2 = p2 / q2

To var ērti uzrakstīt kā,

lpp2 = 2q2

Pēdējais vienādojums to liek domāt lpp2 ir pat. Tas ir iespējams tikai tad, ja lpp pati par sevi ir pat. Tas, savukārt, nozīmē to lpp2 ir dalāms ar 4. Līdz ar to, q2 un attiecīgi q jābūt vienmērīgam. Tātad lpp un q ir abi, kas ir pretrunā ar mūsu sākotnējo pieņēmumu, ka viņiem nav kopīgu faktoru. Tādējādi, √2 nevar būt racionāls. Q.E.D.