Starpība starp kardinālajiem un parasto skaitļiem

Kardināls pret Ordinālu 
 

Mūsu ikdienas dzīvē ciparu lietošana dažādās situācijās var izpausties atšķirīgi. Piemēram, kad mēs rēķināmies, lai izdomātu objektu kolekcijas lielumu, mēs tos uzskatām par vienu, diviem, trim un tā tālāk. Kad mēs vēlamies kaut ko saskaitīt, lai iegūtu priekšstatu par objektu novietojumu, mēs tos uzskatām kā pirmo, otro, trešo un tā tālāk. Skaitīšanas pirmajā formā skaitļi tiek uzskatīti par kardināliem skaitļiem. Otrajā skaitīšanas formā skaitļus uzskata par kārtas numuriem. Šajā kontekstā jēdzieni kardināls un ordinārs pilnībā ir valodniecības jautājums; kardināls un ordināls ir īpašības vārdi.

Tomēr jēdziena attiecināšana uz kopām matemātikā atklāj daudz dziļāku un plašāku perspektīvu, un to nevar traktēt vienkāršā izteiksmē. Šajā rakstā mēs mēģināsim izprast matemātikas kardinālo un kārtas numuru pamatjēdzienus.

Kardinālo un kārtas numuru formālās definīcijas ir sniegtas kopu teorijā. Definīcijas ir sarežģītas, un, lai tās saprastu pilnīgā nozīmē, ir vajadzīgas pamatzināšanas kopu teorijā. Tāpēc mēs pievērsīsimies dažiem piemēriem, lai heuristiski izprastu jēdzienus.

Apsveriet divus komplektus 1,3,6,4,5,2 un autobusu, automašīnu, prāmi, vilcienu, lidmašīnu, helikopteru. Katrā komplektā ir uzskaitīts elementu kopums, un, ja saskaita elementu skaitu, ir redzams, ka katrā ir vienāds elementu skaits, kas ir 6. Iegūstot šo secinājumu, mēs esam paņēmuši vienas kopas lielumu un salīdzinājuši to ar citu, izmantojot numuru. Šādu numuru sauc par kardinālu numuru. Tāpēc mēs varam teikt, ka kardinālais skaitlis ir skaitlis, kuru mēs varam izmantot, lai salīdzinātu ierobežoto kopu lielumu.

Pirmo skaitļu kopumu atkal var sakārtot augošā secībā, ņemot vērā katra elementa lielumu un salīdzinot tos. Pasūtīšanas laikā skaitļi tiek uzskatīti par kardināliem. Tāpat visu nenegatīvo skaitļu kopu var pasūtīt komplektā; i., 0,1,2,3,4,…. Bet šajā gadījumā kopas lielums kļūst bezgalīgs, un dot to ordināru izteiksmē nav iespējams. Neatkarīgi no tā, cik lielu numuru jūs izvēlaties, lai piešķirtu kopas lielumu, joprojām būs skaitļi, kas paliks no jūsu atlasītās kopas un kuri ir negatīvi veseli skaitļi.

Tāpēc matemātiķi definē šo bezgalīgo kardinālu (kurš ir pirmais) kā Aleph-0, kas rakstīts kā א (pirmais burts ebreju alfabētā). Formāli kārtas numurs ir labi sakārtota komplekta kārtas tips. Tāpēc ierobežoto kopu kārtas numuru var norādīt ar kardināliem skaitļiem, bet bezgalīgajām kopām kārtas skaitļus piešķir ar transfinitiem skaitļiem, piemēram, Aleph-0.

Kāda ir atšķirība starp kardinālu un parasto numuru?

• Kardinālais numurs ir skaitlis, kuru var izmantot, lai skaitītu vai norādītu ierobežotās pasūtītās kopas lielumu. Visi kardinālie skaitļi ir kārtējie.

• Kārtējie skaitļi ir skaitļi, kurus izmanto, lai norādītu gan ierobežoto, gan bezgalīgi sakārtoto kopu lielumu. Pabeigto komplektu lielumu norāda ar parastajiem hindu arābu algebriskajiem cipariem, bet bezgalīgo komplekta lielumu norāda ar transfinitiem cipariem.