Atšķirības starp atvasināto un diferenciālo

Atvasināts vs diferenciālis
 

Diferenciālajā aprēķinā funkcijas atvasinājums un diferenciālis ir cieši saistītas, bet tām ir ļoti atšķirīga nozīme, un tās tiek izmantotas, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskos objektus, kas saistīti ar diferencējamām funkcijām..

Kas ir atvasinājums?

Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, ar kādu mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadei. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību izmaiņu virziena. Tādēļ šādos gadījumos tiek izvēlēts noteikts virziens, un funkcija tiek diferencēta šajā konkrētajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļēji atvasinājumi ir īpaša veida virziena atvasinājumi.

Vektoru vērtētas funkcijas atvasinājums f var definēt kā robežu lai kur tas pastāvētu bezgalīgi. Kā minēts iepriekš, tas dod mums funkcijas palielināšanās ātrumu f gar vektora virzienu u. Vienas vērtības funkcijas gadījumā tas tiek samazināts līdz labi zināmai atvasinājuma definīcijai,  

Piemēram, ir visur atšķirams, un atvasinājums ir vienāds ar limitu, , kas ir vienāds ar . Tādu funkciju kā   pastāv visur. Tie attiecīgi ir vienādi ar funkcijām .                                                                                

Tas ir pazīstams kā pirmais atvasinājums. Parasti pirmais funkcijas atvasinājums f tiek apzīmēts ar f ⁽¹⁾. Tagad, izmantojot šo apzīmējumu, ir iespējams noteikt augstākas kārtas atvasinājumus. ir otrās kārtas virziena atvasinājums, kas apzīmē n^th atvasināt f ⁽ⁿ⁾ katram n, ,  definē n^th atvasinājums.

Kas ir diferenciālis?

Funkcijas diferenciālis apzīmē funkcijas izmaiņas attiecībā uz izmaiņām neatkarīgajā mainīgajā vai mainīgajos. Parastajā apzīmējumā dotajai funkcijai f viena mainīgā lieluma x, 1. kārtas kopējais diferenciālis df ir devis, . Tas nozīmē, ka bezgalīgi mazām izmaiņām x(t.i., dx), būs a  f ⁽¹⁾(x) dx izmaiņas f.

Izmantojot ierobežojumus, šo definīciju var iegūt šādi. Pieņemsim, ka ∆x ir izmaiņas x patvaļīgā vietā x un ∆f ir atbilstošās funkcijas izmaiņas f. Var parādīt, ka ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, kur ϵ ir kļūda. Tagad, robeža ∆x →0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (izmantojot iepriekš noteikto atvasinājuma definīciju) un tādējādi ∆x →0^ϵ/_∆x= 0. Tāpēc var secināt, ka, ∆x →0ϵ = 0. Tagad apzīmē ∆x →0 ∆f kā df un ∆x →0 ∆x kā dx tiek precīzi iegūta diferenciāļa definīcija. 

Piemēram, funkcijas diferenciālis ir .

Divu vai vairāku mainīgo funkciju gadījumā kopējo funkciju diferenciāli definē kā diferenciāļu summu katra neatkarīgā mainīgā virzienā. Matemātiski to var izteikt kā .