Atšķirība starp atvasināto un integrālo

Atvasināts vs integrāls

Diferenciācija un integrācija ir divas pamata darbības Calculus. Viņiem ir daudz lietojumu vairākās jomās, piemēram, matemātikā, inženierzinātnēs un fizikā. Gan atvasinājums, gan integrālis apspriež mūs interesējošās funkcijas vai fiziskās būtības izturēšanos.

Kas ir atvasināts?

Pieņemsim, ka y = ƒ (x) un x₀ atrodas domēnā ƒ. Tad lim_{Δx → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx sauc par momentāno change izmaiņu ātrumu pie x₀, ja šis ierobežojums pastāv bezgalīgi. Šo robežu sauc arī par atvasinājumu no un apzīmē ar ƒ (x).

Funkcijas atvasinājuma vērtība f patvaļīgā vietā x funkcijas domēnā dod lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. To apzīmē ar kādu no šiem izteicieniem: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_xy.

Funkcijām ar vairākiem mainīgajiem mēs definējam daļēju atvasinājumu. Daļējs funkcijas atvasinājums ar vairākiem mainīgiem lielumiem ir tās atvasinājums attiecībā uz vienu no šiem mainīgajiem, pieņemot, ka pārējie mainīgie ir konstantes. Daļēja atvasinājuma simbols ir ∂.

Ģeometriski funkcijas atvasinājumu var interpretēt kā funkcijas līknes slīpumu ƒ (x).

Kas ir integrāls?

Integrācija vai antidiferenciācija ir atšķirīgs diferenciācijas process. Citiem vārdiem sakot, tas ir sākotnējās funkcijas atrašanas process, kad tiek dots funkcijas atvasinājums. Tāpēc funkcijas integral (x) integrālis vai anti-atvasinājums, ja ƒ (x) =F(x) var definēt kā funkciju F(x), visiem x domēnā x (x).

Izteiciens ∫ƒ (x) dx apzīmē funkcijas ƒ (x) atvasinājumu. Ja ƒ (x) =F(x), tad ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, kur C ir konstante, ∫ƒ (x) dx sauc par ƒ (x) nenoteiktu integrālu.

Jebkurai funkcijai ƒ, kas nebūt nav negatīva un tiek definēta ar intervālu [a, b], _a∫^bƒ (x) dx sauc par noteiktu integrālu ƒ uz [a, b].

Noteiktais integrālis _a∫^bFunkcijas ƒ (x) dx ƒ (x) ģeometriski var interpretēt kā apgabala apgabalu, ko ierobežo līkne ƒ (x), x ass un līnijas x = a un x = b.