Atšķirība starp diferenciāciju un atvasinājumu

Diferenciācija vs atvasinājums
 

Diferenciālajā aprēķinā atvasinājums un diferenciācija ir cieši saistīti, bet ļoti atšķirīgi, un tos izmanto, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskus jēdzienus, kas saistīti ar funkcijām.

Kas ir atvasinājums?

Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, ar kādu mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadei. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību izmaiņu virziena. Tādēļ šādos gadījumos tiek izvēlēts noteikts virziens, un funkcija tiek diferencēta šajā konkrētajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļēji atvasinājumi ir īpaša veida virziena atvasinājumi.

Vektoru vērtētas funkcijas atvasinājums f var definēt kā robežu lai kur tas pastāvētu bezgalīgi. Kā minēts iepriekš, tas dod mums funkcijas palielināšanās ātrumu f gar vektora virzienu u. Vienas vērtības funkcijas gadījumā tas tiek samazināts līdz labi zināmai atvasinājuma definīcijai,  

Piemēram, ir visur atšķirams, un atvasinājums ir vienāds ar limitu, , kas ir vienāds ar . Tādu funkciju kā   pastāv visur. Tie attiecīgi ir vienādi ar funkcijām .                                                                                

Tas ir pazīstams kā pirmais atvasinājums. Parasti pirmais funkcijas atvasinājums f tiek apzīmēts ar f ⁽¹⁾. Tagad, izmantojot šo apzīmējumu, ir iespējams noteikt augstākas kārtas atvasinājumus. ir otrās kārtas virziena atvasinājums, kas apzīmē n^th atvasināt f ⁽ⁿ⁾ katram n, ,  definē n^th atvasinājums.

Kas ir diferenciācija?

Diferenciācija ir diferencējamas funkcijas atvasinājuma atrašanas process. D-operators apzīmēts ar D apzīmē diferenciāciju dažos kontekstos. Ja x ir neatkarīgais mainīgais, tad D ≡ ^d/_dx. D-operators ir lineārs operators, t.i., jebkurai divām atšķirīgām funkcijām f un g un nemainīgs c, šādas īpašības ir spēkā.

Es.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(sal) = cD(f )

Izmantojot D-operatoru, citus ar diferenciāciju saistītos noteikumus var izteikt šādi. D(f g) = D(f ) g +f D(g) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f D(g)]}/_g² un D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

Piemēram, kad F (x) = x²grēks x ir diferencēta attiecībā uz x izmantojot dotos noteikumus, atbilde būs 2xgrēks x -+ x²cosx.