Atšķirība starp integrāciju un summēšanu

Integrācija vs summēšana
 

Vidusskolas matemātikā matemātiskās operācijās bieži sastopama integrācija un summēšana. Šķiet, ka tos izmanto kā dažādus instrumentus un dažādās situācijās, taču viņiem ir ļoti ciešas attiecības.

Vairāk par Summēšanu

Summēšana ir skaitļu secības pievienošanas operācija, un operāciju bieži apzīmē ar grieķu lielo burtu sigma Σ. To lieto, lai saīsinātu summēšanu un būtu vienāds ar secības summu / kopsummu. Tos bieži izmanto, lai attēlotu sērijas, kas būtībā ir bezgalīgas secības, kas apkopotas. Tos var izmantot arī, lai norādītu vektoru, matricu vai polinomu summu.

Summēšanu parasti veic vērtību diapazonam, ko var attēlot ar vispārīgu terminu, piemēram, sēriju, kurai ir kopīgs termins. Summēšanas sākumpunkts un beigu punkts ir attiecīgi zināmi kā summēšanas apakšējā robeža un augšējā robeža.

Piemēram, secības summa a₁, a₂, a₃, a₄, …, A_n ir₁ + a₂ + a₃ +… + A_n ko var viegli attēlot, izmantojot summēšanas notāciju kā ∑ⁿ_{i = 1} a_i; i sauc par summēšanas indeksu.

Summēšanai, pamatojoties uz lietojumu, tiek izmantotas daudzas variācijas. Dažos gadījumos augšējo un apakšējo robežu var norādīt kā intervālu vai diapazonu, piemēram, ∑_1≤i≤100 a_i un ∑_{i∈ [1100]} a_i. Vai arī to var norādīt kā skaitļu kopu, piemēram, ∑_i∈P a_i , kur P ir noteikta kopa.

Dažos gadījumos var izmantot divas vai vairākas sigma zīmes, taču tās var vispārināt šādi; ∑_j ∑_k a_jk = ∑_{j, k} a_jk.

Arī summēšana notiek pēc daudziem algebriskiem noteikumiem. Tā kā iegultā operācija ir papildinājums, daudzus vispārīgos algebra noteikumus var piemērot pašām summām un atsevišķiem terminiem, kas attēloti summēšanā.

Vairāk par integrāciju

Integrācija tiek definēta kā apgriezts diferenciācijas process. Bet tā ģeometriskajā skatījumā to var uzskatīt arī par laukumu, ko ieskauj funkcijas līkne un ass. Tāpēc, aprēķinot laukumu, tiek iegūta noteikta integrala vērtība, kā parādīts diagrammā.

Attēlu avots: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Noteiktā integrāļa vērtība faktiski ir mazo sloksņu summa līknes un ass iekšpusē. Katras sloksnes laukums ir augstums × platums attiecīgajā ass punktā. Platums ir vērtība, kuru mēs varam izvēlēties, teiksim ∆x. Un, piemēram, augstums ir aptuveni funkcijas vērtība attiecīgajā punktā f(x_i). No diagrammas ir redzams, ka jo mazākas ir sloksnes, jo labāk joslas iekļaujas norobežotajā zonā, līdz ar to labāka vērtības tuvināšana.

Tātad kopumā noteikts integrālis Es, starp punktiem a un b (ti, intervālā [a, b], kur aEs ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, kur n ir sloksņu skaits (n = (b-a) / ∆x). Šo laukuma summēšanu var viegli attēlot, izmantojot summācijas apzīmējumu kā Es ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x. Tā kā tuvināšana ir labāka, ja ∆x ir mazāks, vērtību var aprēķināt, ja ∆x → 0. Tāpēc ir pamatoti teikt Es = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x.

Kā vispārinājumu no iepriekšminētās koncepcijas mēs varam izvēlēties ∆x, pamatojoties uz apskatīto intervālu, ko indeksē i (izvēloties apgabala platumu, pamatojoties uz pozīciju). Tad mēs iegūstam

Es= lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x_i = _a∫^b f(x) dx

Tas ir pazīstams kā funkcijas Reimann integrālis f(x) intervālā [a, b]. Šajā gadījumā a un b tiek dēvēti par integrala augšējo un apakšējo robežu. Reimaņa integrālis ir visu integrācijas metožu pamatforma.

Integrācija būtībā ir laukuma summēšana, ja taisnstūra platums ir bezgalīgs.

Kāda ir atšķirība starp integrāciju un summēšanu?

• Summēšana ir skaitļu virknes summēšana. Parasti summēšana tiek sniegta šādā formā ∑ⁿ_{i = 1} a_i kad secības terminiem ir modelis un tos var izteikt, izmantojot vispārīgu terminu.

• Integrācija pamatā ir laukums, ko ierobežo funkcijas līkne, ass un augšējā un apakšējā robeža. Šo laukumu var norādīt kā daudz mazāku apgabalu summu, kas iekļauti norobežotajā apgabalā.

• Summēšana ietver diskrētās vērtības ar augšējo un apakšējo robežu, turpretī integrācija ietver nepārtrauktas vērtības.

• Integrāciju var interpretēt kā īpašu summēšanas formu.

• Skaitliskās aprēķināšanas metodēs integrāciju vienmēr veic kā summēšanu.