Atšķirība starp Laplasa un Furjē transformācijām

Laplasa vs Furjē pārveidojumi
 

Gan Laplasa, gan Furjē transformācija ir neatņemamas transformācijas, kuras visbiežāk izmanto kā matemātiskas metodes matemātiski modelētu fizisko sistēmu risināšanai. Process ir vienkāršs. Sarežģīts matemātiskais modelis tiek pārveidots par vienkāršāku, atrisināmu modeli, izmantojot integrālo pārveidi. Kad vienkāršākais modelis ir atrisināts, tiek piemērota apgrieztā integrālā transformācija, kas nodrošinātu sākotnējā modeļa risinājumu.

Piemēram, tā kā lielākajā daļā fizisko sistēmu rodas diferenciālvienādojumi, tos var pārvērst algebriskos vienādojumos vai zemākas pakāpes viegli risināmos diferenciālvienādojumos, izmantojot integrālo transformāciju. Tad problēmas risināšana būs vienkāršāka.

Kāda ir Laplasa transformācija?

Dota funkcija f (t) reālā mainīgā lieluma t, tā Laplasa transformāciju nosaka integrālis (kad vien tāds pastāv), kas ir sarežģīta mainīgā funkcija s. To parasti apzīmē ar L f (t). Funkcijas apgrieztā Laplasa transformācija F(s) tiek uzskatīta par funkciju f (t) tādā veidā, ka L f (t) = F(s), un parastajā matemātiskajā apzīmējumā mēs rakstām, L ^-1F(s) = f (t).Apgriezto pārveidi var padarīt unikālu, ja nulles funkcijas nav atļautas. Var identificēt šos divus kā lineāros operatorus, kas definēti funkciju telpā, un ir arī viegli redzēt, ka L ^-1L f (t) = f (t), ja nulles funkcijas nav atļautas.

Šajā tabulā ir uzskaitītas dažu visizplatītāko funkciju Laplasa transformācijas.

Kāda ir Furjē transformācija?

Dota funkcija f (t) reālā mainīgā lieluma t, tā Laplasa transformāciju nosaka integrālis (kad tas eksistē), un to parasti apzīmē ar F f (t). Apgrieztā transformācija F ^-1F(α) dod integrals . Furjē transformācija ir arī lineāra, un to var uzskatīt par operatoru, kas definēts funkciju telpā.

Izmantojot Furjē transformāciju, sākotnējo funkciju var uzrakstīt šādi, ar nosacījumu, ka funkcijai ir tikai ierobežots pārtraukumu skaits un tā ir absolūti integrējama.

Kāda ir atšķirība starp Laplasa un Furjē pārveidojumiem?

• Funkcijas Furjē transformācija f (t) tiek definēts kā , tā kā tiek definēts, ka tā ir Laplasa transformācija .
• Furjē transformācija tiek definēta tikai funkcijām, kas noteiktas visiem reālajiem skaitļiem, turpretim Laplasa transformācijai nav nepieciešama funkcija, kas definēta, iestatot negatīvos reālos skaitļus..
• Furjē transformācija ir īpašs Laplasa transformācijas gadījums. Var redzēt, ka abi sakrīt ar negatīvajiem reālajiem skaitļiem. (t.i., ņem s Laplakā, lai būtu iα + β kur α un β ir reāli tādi, ka e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Katrai funkcijai, kurai ir Furjē transformācija, būs Laplasa transformācija, bet ne otrādi.