Starpība starp lineāro un nelineāro vienādojumu

Lineārais vienādojums pret nelineāro vienādojumu

Matemātikā algebriskie vienādojumi ir vienādojumi, kas tiek veidoti, izmantojot polinoma. Ja skaidri uzrakstīts, vienādojumi būs formā P (x) = 0, kur x ir n nezināmu mainīgo lielumu vektors, un P ir polinoms. Piemēram, P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 ir algebrisks vienādojums divos mainīgos lielumos, kas skaidri uzrakstīti. Arī (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ ir algebrisks vienādojums, bet netiešā formā, un tas notiks formā Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, ja vienreiz skaidri uzrakstīts.

Svarīga algebriskā vienādojuma īpašība ir tā pakāpe. Tā ir definēta kā vienādojumā sastopamo terminu augstākā jauda. Ja termins sastāv no diviem vai vairākiem mainīgiem lielumiem, katra mainīgā eksponentu summa tiks uzskatīta par termina spēku. Ievērojiet, ka saskaņā ar šo definīciju P (x, y) = 0 ir ar 5. pakāpi, savukārt Q (x, y, z) = 0 ir ar 5. pakāpi.

Lineārie vienādojumi un nelineārie vienādojumi ir divdaļīgi sadalīti algebrisko vienādojumu kopā. Vienādojuma pakāpe ir faktors, kas tos atšķir viens no otra.

Kas ir lineārais vienādojums?

Lineārs vienādojums ir 1. pakāpes algebriskais vienādojums. Piemēram, 4x + 5 = 0 ir viena mainīgā lineārs vienādojums. x + y + 5z = 0 un 4x = 3w + 5y + 7z ir attiecīgi 3 un 4 mainīgo lineārie vienādojumi. Parasti n mainīgā lieluma lineārais vienādojums būs m₁x₁ + m₂x₂ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Šeit, x_iir nezināmie mainīgie, m_is un b ir reālie skaitļi, kur katrs no m_i nav nulle.

Šāds vienādojums attēlo hiperplakni n-dimensijas Eiklīda telpā. Proti, divi mainīgi lineāri vienādojumi attēlo taisnu līniju Dekarta plaknē un trīs mainīgi lineāri vienādojumi attēlo plakni Eiklīda 3-telpā.

Kas ir nelineārs vienādojums?

Kvadrātvienādojums ir algebrisks vienādojums, kas nav lineārs. Citiem vārdiem sakot, nelineārs vienādojums ir algebrisks vienādojums ar pakāpi 2 vai augstāku. x² + 3x + 2 = 0 ir viens mainīgs nelineārs vienādojums. x² + y³+ 3xy = 4 un 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 ir attiecīgi 3 un 4 mainīgo nelineāro vienādojumu piemēri.

Otrās pakāpes nelineāro vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu. Ja grāds ir 3, tad to sauc par kubiskā vienādojumu. Pakāpes 4 un 5 pakāpes vienādojumus attiecīgi sauc par ceturkšņa un kvinta vienādojumiem. Ir pierādīts, ka nepastāv analītiska metode, lai atrisinātu jebkuru nelineāru 5. pakāpes vienādojumu, un tas attiecas arī uz jebkuru augstāku pakāpi. Atrisināmi nelineāri vienādojumi attēlo hipervirsmas, kas nav hiperplaknes.