Atšķirība starp savstarpēji izslēdzošiem un neatkarīgiem notikumiem

Savstarpēji izslēdzoši un neatkarīgi notikumi

Cilvēki bieži jauc savstarpēji izslēdzošu notikumu jēdzienu ar neatkarīgiem notikumiem. Faktiski tās ir divas dažādas lietas.

Ļaujiet A un B būt kādi divi notikumi, kas saistīti ar izlases eksperimentu E. P (A) sauc par “A varbūtību”. Līdzīgi mēs varam definēt B varbūtību kā P (B), A vai B varbūtību kā P (A∪B) un A un B varbūtību kā P (A∩B). Tad P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Tomēr divi notikumi, kas tika savstarpēji izslēdzami, ja viena notikums neietekmē otru. Citiem vārdiem sakot, tie nevar notikt vienlaikus. Tāpēc, ja divi notikumi A un B ir savstarpēji izslēdzoši, tad A∩B = ∅ un tātad tas nozīmē, ka P (A∪B) = P (A) + P (B).

Būtu A un B divi notikumi parauga telpā S. A nosacīto varbūtību A, ņemot vērā, ka B ir notikusi, apzīmē ar P (A | B) un definē kā; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), ja P (B)> 0. (pretējā gadījumā tas nav definēts.)

Notikums A tiek uzskatīts par neatkarīgu no notikuma B, ja A iestāšanās varbūtību neietekmē tas, vai B ir noticis. Citiem vārdiem sakot, notikuma B iznākums neietekmē notikuma A iznākumu. Tāpēc P (A | B) = P (A). Tāpat B ir neatkarīgs no A, ja P (B) = P (B | A). Tādējādi mēs varam secināt, ka, ja A un B ir neatkarīgi notikumi, tad P (A∩B) = P (A) .P (B)

Pieņemsim, ka ir izrullēts numurēts kubs un aplaista taisnīga monēta. Ļaujiet A notikumam, kas iegūst galvas, un B ir notikumam, kas rāda pāra skaitli. Tad mēs varam secināt, ka notikumi A un B ir neatkarīgi, jo viena iznākums neietekmē otra iznākumu. Tāpēc P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Tā kā P (A∩B) ≠ 0, A un B nevar būt savstarpēji izslēdzoši.

Pieņemsim, ka urna satur 7 baltas un 8 melnas bumbiņas. Definējiet notikumu A kā balta marmora zīmēšanu un notikumu B kā melna marmora zīmējumu. Pieņemot, ka katrs marmors tiks aizstāts pēc tam, kad būs pamanīta tā krāsa, tad P (A) un P (B) vienmēr būs vienādi, neatkarīgi no tā, cik reizes mēs zīmējam no urnas. Bumbas nomaiņa nozīmē, ka varbūtības nemainās no izlozes līdz izlozei neatkarīgi no tā, kādu krāsu izvēlējāmies pēdējā izlozē. Tāpēc notikums A un B ir neatkarīgi.

Tomēr, ja bumbiņas tika zīmētas bez nomaiņas, tad viss mainās. Saskaņā ar šo pieņēmumu notikumi A un B nav neatkarīgi. Pirmo reizi zīmējot baltu marmoru, tiek mainīta varbūtība, ka otrajā zīmējumā tiks uzzīmēts melns marmors utt. Citiem vārdiem sakot, katra izloze ietekmē nākamo izlozi, tāpēc atsevišķās izlozes nav neatkarīgas.