Paralēlogrammas un taisnstūra atšķirība

Paralēlogramma vs taisnstūris
 

Paralēlogramma un taisnstūris ir četrstūri. Šo figūru ģeometrija cilvēkam bija zināma tūkstošiem gadu. Šis priekšmets ir skaidri apskatīts grieķu matemātiķa Eiklīda grāmatā “Elementi”.

Paralēlogramma

Paralēlogrammu var definēt kā ģeometrisku figūru ar četrām malām ar pretējām pusēm paralēlām viena otrai. Precīzāk, tas ir četrstūris ar diviem pāriem paralēlu malu. Šis paralēlais raksturs piešķir daudzus paralēlogrammu ģeometriskos parametrus.

          

Četrstūris ir paralelogramma, ja ir atrasti šādi ģeometriskie raksturlielumi.

• Diviem pretējo malu pāriem ir vienāds garums. (AB = DC, AD = BC)

• Divi pretēju leņķu pāri ir vienāda lieluma. ()

• Ja blakus esošie leņķi ir papildu 

• Sānu pāris, kas atrodas viens otram pretī, ir paralēli un vienāda garuma. (AB = DC un AB∥DC)

• Diagonāles viena otru šķērso (AO = OC, BO = OD)

• Katra diagonāle sadala četrstūri divos sakrītos trīsstūros. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)

Turklāt malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu. To dažreiz sauc par paralēlogrammas likums un tam ir plašs pielietojums fizikā un inženierijā. (AB² + BC² + Kompaktdisks² + DA² = Maiņstrāva² + BD²)

Katru no iepriekšminētajiem parametriem var izmantot kā īpašības, kad ir noskaidrots, ka četrstūris ir paralelograms.

Paralēlogrammas laukumu var aprēķināt, aprēķinot pēc vienas puses garuma un augstuma pret pretējo pusi. Tāpēc paralēles diagrammas laukumu var izteikt kā

Paralēlogrammas laukums = pamatne × augstums = AB×h

Paralēlogrammas laukums nav atkarīgs no atsevišķās paralelogrammas formas. Tas ir atkarīgs tikai no pamatnes garuma un perpendikulārā augstuma.

Ja paralēles diagrammas malas var attēlot ar diviem vektoriem, laukumu var iegūt pēc divu blakus esošo vektoru vektora produkta (šķērsprodukta) lieluma.

Ja puses AB un AD apzīmē ar vektoriem () un () Attiecīgi paralelogrammas laukumu apzīmē ar , kur α ir leņķis starp un . 

Tālāk ir sniegtas dažas paralelogrammas uzlabotās īpašības;

• Paralēlogrammas laukums ir divreiz lielāks par trijstūra laukumu, ko rada jebkura tā diagonāle.

• Paralēlogrammas laukumu dala uz pusēm ar jebkuru līniju, kas iet caur viduspunktu.

• Jebkura ne-deģenerēta afīnu pārveidošana notiek paralēlā diagrammā ar citu paralelogrammu

• Paralēlagrammai ir 2. kārtas rotācijas simetrija

• Attālumu summa no jebkura paralēles diagrammas iekšējā punkta līdz malām nav atkarīga no punkta atrašanās vietas

Taisnstūris

Četrstūris ar četriem taisniem leņķiem ir pazīstams kā taisnstūris. Tas ir paralelogrammas īpašs gadījums, kad leņķi starp visām divām blakus esošajām pusēm ir taisni.

 

Apsverot taisnstūra ģeometriju, papildus visām paralelogrammas īpašībām var atpazīt papildu raksturlielumus..

• Katrs leņķis virsotnēs ir taisns leņķis.

• Diagonāles ir vienāda garuma, un tās sadala viena otru. Tāpēc arī sadalītās sadaļas ir vienāda garuma.

• Diagonāļu garumu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:

PQ² + PS² = SQ²

• Platības formula tiek samazināta līdz reizinājumam ar garumu un platumu.

Taisnstūra laukums = garums × platums

• taisnstūrī ir atrodamas daudzas simetriskas īpašības, piemēram;

- Taisnstūris ir ciklisks, kurā visas virsotnes var novietot uz apļa perimetru.

- Tas ir vienādmalu, kur visi leņķi ir vienādi.

- Tā ir izogonāla, kur visi stūri atrodas vienā un tajā pašā simetrijas orbītā.

- Tam ir gan refleksīva simetrija, gan rotācijas simetrija.

Kāda ir atšķirība starp paralēlogrammu un taisnstūri?

• Paralēlogramma un taisnstūris ir četrstūri. Taisnstūris ir īpašs paralelogrammu gadījums.

• Jebkura laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu bāze × augstums.

• ņemot vērā diagonāles;

- Paralēles diagrammas diagonāles ir viena no otras un paralēlā diagramma ir sadalīta divās daļās, veidojot vienādu trīsstūri.

- Taisnstūra diagonāles ir vienāda garuma un pusotras viena otrai; sadalītās sekcijas ir vienāda garuma. Diagonāles taisnstūri sadala divās vienādās taisnstūrās.

• ņemot vērā iekšējos leņķus;

- Pretējā paralelograma iekšējie leņķi ir vienāda lieluma. Divi blakus esošie iekšējie leņķi ir papildinājumi

- Visi četri taisnstūra iekšējie leņķi ir taisni.

• ņemot vērā sānus;

- Paralēlā diagrammā malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāles kvadrātu summu (Parallelograma likums)

- Taisnstūros divu blakus esošo malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāles kvadrātu galos. (Pitagora likums)