Atšķirība starp nejaušiem mainīgajiem un varbūtības sadalījumu

Nejaušie mainīgie vs varbūtības sadalījums

Statistikas eksperimenti ir nejauši eksperimenti, kurus var atkārtot bezgalīgi ar zināmu rezultātu kopumu. Ar šādiem eksperimentiem ir saistīti gan nejaušie mainīgie, gan varbūtības sadalījums. Katram izlases veida mainīgajam lielumam ir saistīts varbūtības sadalījums, ko nosaka funkcija, ko sauc par kumulatīvās sadalījuma funkciju.

Kas ir izlases mainīgais?

Nejaušs mainīgais ir funkcija, kas statistiskās eksperimenta rezultātiem piešķir skaitliskas vērtības. Citiem vārdiem sakot, tā ir funkcija, kas definēta no statistiskā eksperimenta parauga telpas uz reālo skaitļu kopu.

Piemēram, apsveriet izlases eksperimentu, ar kuru monētu divreiz pārsist. Iespējamie rezultāti ir HH, HT, TH un TT (H - galvas, T - pasakas). Ļaujiet mainīgajam X būt eksperimentā novēroto galvu skaitam. Tad X var izmantot vērtības 0, 1 vai 2, un tas ir nejaušs mainīgais. Šeit nejaušais mainīgais X kartēs kopu S = HH, HT, TH, TT (parauga telpa) uz kopu 0, 1, 2 tādā veidā, ka HH tiek kartēts uz 2, HT un TH tiek apzīmēti ar 1 un TT ir nullēti. Funkciju apzīmējumā to var uzrakstīt šādi: X: S → R, kur X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 un X ( TT) = 0.

Pastāv divu veidu izlases veida mainīgie: diskrēti un nepārtraukti, attiecīgi iespējamo vērtību skaits, ko var pieņemt izlases veida mainīgais, ir vismaz saskaitāms. Iepriekšējā piemērā izlases mainīgais X ir diskrēts izlases mainīgais, jo 0, 1, 2 ir ierobežota kopa. Tagad apsveriet statistisko eksperimentu, lai atrastu klases skolēnu svaru. Ļaujiet Y ir izlases lielums, kas definēts kā studenta svars. Y noteiktā intervālā var iegūt jebkuru reālu vērtību. Tādējādi Y ir nepārtraukts izlases lielums.

Kas ir varbūtības sadalījums?

Varbūtības sadalījums ir funkcija, kas apraksta nejauša mainīgā varbūtību, kas ņem noteiktas vērtības.

Funkciju, ko sauc par kumulatīvo sadalījuma funkciju (F), var definēt no reālo skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai kā F (x) = P (X ≤ x) (X varbūtība ir mazāka vai vienāda ar x) katrs iespējamais iznākums x. Tagad X kumulatīvo sadalījuma funkciju pirmajā piemērā var uzrakstīt kā F (a) = 0, ja a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Diskrētu nejaušu mainīgo gadījumā funkciju var definēt no iespējamo iznākumu kopas līdz reālo skaitļu kopai tādā veidā, ka ƒ (x) = P (X = x) (X varbūtība ir vienāda ar x) par katru iespējamo iznākumu x. Šo īpašo funkciju ƒ sauc par nejauša mainīgā X varbūtības masas funkciju. Tagad X varbūtības masas funkciju pirmajā konkrētajā piemērā var uzrakstīt kā ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, un pretējā gadījumā ƒ (x) = 0. Tādējādi varbūtības masas funkcija kopā ar kumulatīvo sadalījuma funkciju pirmajā piemērā aprakstīs X varbūtības sadalījumu.

Nepārtrauktu nejaušu mainīgo gadījumā funkciju, ko sauc par varbūtības blīvuma funkciju (ƒ), var definēt kā ƒ (x) = dF (x) / dx katram x, kur F ir nepārtraukta nejauša mainīgā kumulatīvā sadalījuma funkcija. Ir viegli redzēt, ka šī funkcija apmierina ∫ƒ (x) dx = 1. Varbūtības blīvuma funkcija kopā ar kumulatīvo sadalījuma funkciju raksturo nepārtraukta nejauša mainīgā varbūtības sadalījumu. Piemēram, parasto sadalījumu (kas ir nepārtraukts varbūtības sadalījums) apraksta, izmantojot varbūtības blīvuma funkciju ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).