Atšķirība starp Riemann Integral un Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrācija ir galvenā tēma kalkulā. Plašākā nozīmē integrāciju var uzskatīt par diferenciācijas apgrieztu procesu. Modelējot reālās pasaules problēmas, ir viegli uzrakstīt izteiksmes, kurās ietverti atvasinājumi. Šādā situācijā ir nepieciešama integrācijas operācija, lai atrastu funkciju, kas deva konkrēto atvasinājumu.

No cita viedokļa integrācija ir process, kurā tiek summēts funkcijas ƒ (x) un δx reizinājums, kur δx mēdz būt noteikta robeža. Tāpēc kā ∫ mēs izmantojam integrācijas simbolu. Simbols ∫ faktiski ir tas, ko mēs iegūstam, izstiepjot burtu s, lai atsauktos uz summu.

Riemann Integral

Apsveriet funkciju y = ƒ (x). Y integrāls starp a un b, kur a un b pieder x kopai, tiek rakstīts kā _b∫^aƒ (x) dx = [F(x)]_a→b = F(b) - F(a). To sauc par vienotas vērtības un nepārtrauktas funkcijas y = ƒ (x) noteiktu integrālu starp a un b. Tas dod laukumu zem līknes starp a un b. To sauc arī par Rīmana integrālu. Riemann integralu izveidoja Bernhards Riemann. Nepārtrauktas funkcijas Riemann integrālis ir balstīts uz Jordānijas mērījumu, tāpēc to arī definē kā funkcijas Riemann summu robežu. Reāli vērtētai funkcijai, kas definēta slēgtā intervālā, funkcijas Riemann integrālis attiecībā pret nodalījumu x₁, x₂,…, X_n noteikts intervālā [a, b] un t₁, t₂,…, T_n, kur x_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1} katram i ε 1, 2,…, n Riemann summa tiek definēta kā Σ_{i = o līdz n-1} ƒ (t_i) (x_{i + 1} - x_i).

Lebesgue integrāls

Lebesgue ir vēl viens integrālis, kas aptver ļoti dažādus gadījumus nekā Riemann integrals. Lebesgue integralu ieviesa Henri Lebesgue 1902. gadā. Legesgue integrāciju var uzskatīt par Riemann integrācijas vispārinājumu..

Kāpēc mums jāpēta vēl viens neatņemams elements?

Apsvērsim raksturīgo funkciju ƒ_{A (x) = 0, ja x nav ε A}^{1, ja, x ε A} uz kopas A. Tad raksturīgo funkciju ierobežotā lineārā kombinācija, kas tiek definēta kā F(x) = Σ a_iƒE_i(x) sauc par vienkāršo funkciju, ja E_i ir izmērāms katram i. Lebesgue integrālis F(x) pāri E tiek apzīmēts ar _E∫ ƒ (x) dx. Funkcija F(x) nav Riemann integrējams. Tāpēc Lebesgue integrālis ir pārfrāzēts Riemann integrals, kuram ir daži ierobežojumi integrējamajām funkcijām.