Atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko sēriju

Aritmētiskā un ģeometriskā sērija
 

Sērijas matemātiskā definīcija ir cieši saistīta ar sekvencēm. Secība ir sakārtota skaitļu kopa, un tā var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Ciparu secība, kurā starpība starp diviem elementiem ir konstante, ir zināma kā aritmētiskā progresija. Secību ar nemainīgu divu secīgu skaitļu dalījumu sauc par ģeometrisko progresiju. Šīs progresijas var būt gan ierobežotas, gan bezgalīgas, un, ja ierobežotas, tad terminu skaits ir saskaitāms, citur - neskaitāms.

Parasti elementu summu progresijā var definēt kā virkni. Aritmētiskās progresijas summa ir zināma kā aritmētiskā virkne. Tāpat ģeometriskās progresijas summa ir zināma kā ģeometriskā virkne.

Vairāk par aritmētisko sēriju

Aritmētiskajā sērijā secīgajiem terminiem ir pastāvīga atšķirība.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i = 1} a_i ; kur₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d utt.

Šo atšķirību d sauc par kopējo atšķirību, un n^th termiņu piešķir a_n = a₁+ (n-1) d; kur₁ ir pirmais termiņš.

Sērijas uzvedība mainās, pamatojoties uz kopējo atšķirību d. Ja kopējā atšķirība ir pozitīva, progresijai ir tendence uz pozitīvu bezgalību, un, ja kopējā atšķirība ir negatīva, tā tiecas uz negatīvu bezgalību.

Sēriju summu var iegūt pēc šādas vienkāršas formulas, kuru vispirms izstrādāja Indijas astronoms un matemātiķis Arjabāta.

S_n = n / 2 (a₁+ a_n ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

Summa S_n var būt gan ierobežots, gan bezgalīgs, balstoties uz terminu skaitu.

Vairāk par Ģeometriskās sērijas

Ģeometriskā virkne ir virkne ar secīgu skaitļu koeficientu, kas ir konstants. Tā ir svarīga sērija, kas atrasta sērijas izpētē to īpašību dēļ.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} arⁱ

Balstoties uz attiecību r, sērijas izturēšanos var klasificēt šādi. r = | r | ≥1 sērija atšķiras; r≤1 sērija saplūst. Arī tad, ja r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Ģeometrisko virkņu summu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); kur a ir sākotnējais termins un r ir attiecība. Ja attiecība r≤1, sērija saplūst. Bezgalīgai sērijai konverģences vērtību norāda S_n= a / (1-r).

Ģeometriskajām sērijām ir daudz pielietojumu fizisko zinātņu, inženierzinātņu un ekonomikas jomā

Kāda ir atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko sēriju?

• Aritmētiskā virkne ir virkne ar pastāvīgu atšķirību starp diviem blakus esošajiem terminiem.

• Ģeometriskā virkne ir virkne ar nemainīgu koeficientu starp diviem secīgiem terminiem.

• Visas bezgalīgās aritmētiskās sērijas vienmēr ir atšķirīgas, taču atkarībā no attiecības ģeometriskās virknes var būt konverģences vai atšķirības.

• Ģeometriskās sērijas vērtībās var būt svārstības; tas ir, cipari alternatīvi maina savas zīmes, bet aritmētiskajā virknē nevar būt svārstības.