Atšķirība starp asociatīvo un komutācijas spēju

Asociatīvs vs komutācijas
 

Ikdienas dzīvē mums ir jāizmanto skaitļi ikreiz, kad mums ir nepieciešams kaut ko izmērīt. Pārtikas preču veikalā, degvielas uzpildes stacijā un pat virtuvē mums jāpievieno, jāatskaita un jāsareizina divi vai vairāki daudzumi. Pēc mūsu prakses mēs šos aprēķinus veicam diezgan viegli. Mēs nekad nepamanām un nejautājam, kāpēc mēs šīs operācijas veicam tieši šajā veidā. Vai arī kāpēc šos aprēķinus nevar izdarīt savādāk. Atbilde ir paslēpta veidā, kā šīs operācijas tiek definētas algebras matemātiskajā laukā.

Algebrā operācija, kurā iesaistīti divi lielumi (piemēram, pievienošana), tiek definēta kā bināra operācija. Precīzāk, tā ir darbība starp diviem elementiem no kopas, un šos elementus sauc par “operandu”. Daudzas matemātikas operācijas, ieskaitot iepriekšminētās aritmētiskās operācijas, kā arī tās, kas tika veiktas kopas teorijā, lineārajā algebrā un matemātiskajā loģikā, var definēt kā bināras operācijas.

Pastāv regulējošu noteikumu kopums, kas attiecas uz konkrētu bināro darbību. Asociācijas un komutācijas īpašības ir divas bināro operāciju pamatīpašības.

Vairāk par komutācijas īpašumu

Pieņemsim, ka elementiem tiek veikta kāda bināra operācija, kas apzīmēta ar simbolu ⊗ A un B. Ja operandu secība neietekmē operācijas rezultātu, tad tiek uzskatīts, ka operācija ir komutējoša. t.i., ja A ⊗ B = B ⊗ A tad operācija ir komutējoša.

Aritmētisko operāciju saskaitīšana un reizināšana ir komutācijas. Skaitļu secība, kas saskaitīta kopā vai reizināta, neietekmē galīgo atbildi:

A + B = B + A     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Bet dalīšanas gadījumā kārtības maiņa dod otras puses savstarpējo spēku, bet atņemšanas gadījumā izmaiņas dod otras puses negatīvo. Tāpēc,

A - B ≠ B - A     ⇒ 4 - 5 = -1 un 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 un 5 ÷ 4 = 1,25 [šajā gadījumā A,B ≠ 1 un 0]

Faktiski tiek teikts, ka atņemšana ir komutācijas pretestība; kur A - B = - (B - A).

Arī loģiskie savienojumi, savienojums, disjunkcija, implicācija un ekvivalence ir komutējoši. Patiesības funkcijas arī ir komutācijas. Iestatītā operāciju savienība un krustojums ir komutējoši. Komutējoši ir arī vektoru pievienošana un skalarais reizinājums.

Bet vektora atņemšana un vektora produkts nav komutācijas (divu vektoru vektora produkts ir pretkomutatīvs). Matricas saskaitīšana ir komutējoša, bet reizināšana un atņemšana nav komutējoša. (Divu matricu reizināšana var būt komutējoša īpašos gadījumos, piemēram, matricas reizināšana ar tās inverso vai identitātes matricu; taču matricas noteikti nav komutējošas, ja matricas nav vienāda lieluma)

Vairāk par asociācijas īpašumu

Binārā operācija tiek uzskatīta par asociatīvu, ja izpildes secība neietekmē rezultātu, kad ir divi vai vairāki operatora gadījumi. Apsveriet elementus A, B un C un bināro operāciju ⊗. Operācija ⊗ tiek uzskatīta par asociatīvu, ja

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

No pamata aritmētiskajām funkcijām tikai saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas.

A + (B + C) = (A + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Atņemšana un dalīšana nav asociatīvas;

A - (B - C) ≠ (A - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 un (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 un (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Loģisko savienojumu disjunction, conjunction un ekvivalences ir asociatīvas, tāpat kā iestatīto operāciju savienība un krustojums. Matrica un vektora pievienojums ir asociatīvi. Vektoru skalārais reizinājums ir asociatīvs, bet vektoru produkts nav. Matricas reizināšana ir asociatīva tikai īpašos apstākļos.

Kāda ir atšķirība starp komutācijas un asociēto īpašumu?

• Gan asociatīvais īpašums, gan komutācijas īpašums ir bināro operāciju īpašās īpašības, un dažas tās apmierina, bet dažas ne..

• Šīs īpašības var redzēt daudzos algebrisko operāciju veidos un citās matemātikas binārajās operācijās, piemēram, krustojumā un savienībā kopas teorijā vai loģiskajos savienojumos..

• Atšķirība starp komutācijas un asociatīvo ir tāda, ka komutācijas īpašība nosaka, ka elementu secība nemaina gala rezultātu, savukārt asociatīvā īpašība norāda, ka operācijas veikšanas secība neietekmē galīgo atbildi..